Ambos os seus exemplos, como mostrado, estão corretos. Por favor, atualize sua pergunta com novas informações (por exemplo, são aqueles nomes de diretório exatos que estão sendo usados?) Ou forneça evidências para a afirmação "não funciona".
bash-4.1$ mkdir my_folder
bash-4.1$ my_var=my_folder
bash-4.1$ cd $my_var
bash-4.1$ pwd
/home/jdoe/my_folder
bash-4.1$ cd ..
bash-4.1$ my_var="my_folder"
bash-4.1$ cd $my_var
bash-4.1$ pwd
/home/jdoe/my_folder
bash-4.1$