O script de shell será automaticamente a variável de ambiente do usuário que está executando o script.
Você pode considerar mais importante como especificar variáveis extras para seus scripts. Para adicionar ao caminho padrão do usuário que está executando o script, você deve adicionar uma linha como:
PATH="$PATH:/newAddedPath"
Isso adicionará ao caminho a área que você deseja incluir.
Resposta atualizada para a pergunta atualizada:
Você pode executar seu cron como root com:
$ sudo crontab -e
Você pode executar seu cron como qualquer outro usuário com:
$ sudo crontab -u [userid] -e
Tenha em mente que o root não tem o mesmo caminho padrão que os usuários normais. Você pode verificar para ver o caminho que você tem como root:
$ sudo su -
# echo $PATH
# exit
Para garantir que você tenha sua variável de caminho da maneira que você precisa, adicione a instrução de caminho no início desta resposta ao início do script.