Você pode usar 'tee' para fazer isso
Exemplo:
0 10 * * * user /path/to/myscript.sh | tee -a /path/to/file1 /var/path/to/file2
A saída do myscript.sh é canalizada para 'tee', que acrescenta a saída aos dois arquivos.
Verifique se você tem permissões de gravação nos arquivos que deseja gravar.
Se você tiver uma lógica de log interna, precisará publicar seu código do script.