Seu script como escrito contém
date_month= date -d "$mydate" +%b
Observe o espaço. Isso executa date -d "$mydate" +%b
com date_month
definido como uma cadeia vazia. Para colocar o resultado deste comando na variável, você tem que usar a substituição de comando:
date_month=$(date -d "$mydate" +%b)
Note também a falta de espaço.