ssh [email protected] 'mongo mydb --host 10.1.1.1 --port 27017 -u user -p password --authenticationDatabase admin --eval "db.mycollection.update({}, {$push: {'"$ENTITY"': NumberInt('"$CODE"')}})" --quiet'
Troquei as aspas duplas por aspas simples no início e no final e coloquei sua entrada --eval
entre aspas duplas.