Use um multiplexador como tmux ou tela no site remoto.
No caso de você usar o tmux:
Quando logado no site remoto com putty, basta iniciar o multiplexador executando tmux . Desconecte-se do multiplexador tmux pressionando CTRL-b d , do que desconectar putty. Ao retornar ao site remoto, liste sua sessão tmux com tmux ls e reconecte com tmux attach .
Existem muitos recursos para proteger sua sessão, portanto, leia o conteúdo dos links acima.
Eu não sei como reconectar a sua sessão de depuração já iniciada, então este é um conselho para a próxima vez também.