Seu comando inicial
# mv ROOT.war /my-webapps
moveu o arquivo war para o diretório raiz e alterou seu nome para my-webapps
. Para movê-lo para seu diretório pai, você deve ter usado
# mv ROOT.war ../my-webapps
Para recuperá-lo, basta mover my-webapps de volta para onde você quiser
# mv /my-webapps /var/lib/tomcat8/my-webapps/ROOT.war
Quanto ao seu comentário sobre seu segundo ponto, é verdade que /var/lib/tomcat8/my-webapps
é um diretório, mas /my-webapps
é um arquivo regular, não um diretório; daí a mensagem de erro quando você tenta sobrescrevê-lo com ROOT
.