Existem vários rename(1) s por aí e eles usam diferentes conjuntos de opções. Assumindo que seu rename(1) suporta expressões Perl, isso deve funcionar:
rename -n "s/ \(copy\)/_copy_$(date +%d%m%Y)/" *
A opção -n mostra o que o rename(1) faria sem renomear nada. Remova -n quando estiver satisfeito com o resultado.