A maneira padrão de fazer isso com a maioria das shells (e, portanto, mais portável) é com backquote (') e já que o arg que você tem para ssh não precisa de citação, mas o resultado provavelmente você escreveria:
UPTIME="'ssh $linux_server cat /proc/uptime'"
ou você pode ser específico para bash (e alguns outros shells, mas não tão universal quanto backquote) usando o $ () como:
UPTIME="$(ssh $linux_server cat /proc/uptime$)"
Observe que, como os backquotes usam a mesma coisa para delimitar o comando, eles não podem ser aninhados. Essa é uma das vantagens da construção bash. Ele também não requer o bifurcação de uma sub-shell para execução um pouco mais eficiente.
Leia a página man bash para mais detalhes.