A maneira mais fácil é converter a string de data em hora de época, que é contada em segundos desde 1970-01-01 00:00:00 UTC e comparar o número de segundos.
Para obter a data atual em segundos, faça:
[jenny@finch ~]$ date +%s
1464162079
Para obter a data da string de data acima, faça
[jenny@finch ~]$ date -d 'Oct 8 13:48:27 2020 GMT' +%s
1602164907
Uma semana é 604800 segundos, portanto, verifique se a diferença entre os dois tempos é menor do que isso.