O código fonte do kernel Linux no Ubuntu é de código aberto, então não há problema em usar (partes de) ele, apenas como você pode usar qualquer outra fonte do kernel linux.
Não é permitido usar o nome do Ubuntu para o seu sistema operacional, a menos que você tenha permissão da Canonical (proprietária do marca registrada do Ubuntu ), que em geral é válida para outras marcas registradas e seus proprietários também. É claro que você poderia mencionar que seu kernel é baseado no kernel do Ubuntu (ou Red Hat, ou qualquer outro) se isso for verdade.
Em outras palavras, "Whatever", "Whatever OS" & "Whatever Linux" está tudo bem (desde que você realmente use um kernel Linux no caso do último), mas chamá-lo de "Ubuntu Whatever" provavelmente não está bem.