Sugiro que você não faça backups com a data de modificação.
Você não prefere classificar seus backups no dia em que eles realmente passaram por backup?
Eu sei que sim.
Eu resolveria o problema assim
#!/bin/sh
targetDirectory=$2
for file in $1; do
if [ -f "$file" ]; then
if [ $((('date +%s' - 'stat -L --format %Y $file') > (172800))) -eq 1 ]; then
today=$(date +"%Y%m%d")
mkdir -p "$targetDirectory"
mkdir -p "$targetDirectory/$today"
mv $file "$targetDirectory/$today"
echo "$file moved to $targetDirectory/$today/$file"
fi
fi
done
(O número mágico 172800 é de 2 dias em segundos.)
Execute o script da seguinte forma: $ ./movebackup.sh "/Logfolder/*.log" Backups
Output
Server.log moved to Backups/20160319/Server.log
Server17032016.log moved to Backups/20160319/Server17032016.log
E execute isso em um cronjob à meia-noite todos os dias.