A partir do Oneiric, a versão do Thunderbird fornecida com o Ubuntu tem um pacote complementar que lida com a integração no menu de mensagens. Esse complemento chamado "Menu de mensagens e integração do Unitiy Launcher" fornece algumas opções adicionais na guia Geral nas configurações do Thunderbird (não tenho certeza sobre as palavras, pois estou traduzindo novamente do alemão aqui;)). Perto das opções para reproduzir um arquivo de som quando um novo e-mail chega e tal, você pode decidir se a notificação de mensagem deve ser acesa para novos e-mails e se deve fazer isso para cada pasta ou apenas para a caixa de entrada. Não conheço uma solução para escolher um conjunto personalizado de pastas, mas talvez exista um complemento para fazer isso.
TL; DR
Editar > Preferências > Quando novas mensagens chegarem > checkbox "Mostrar no menu de mensagens" > altere o rádio de "Para mensagens em todas as pastas" para "Somente para mensagens na minha pasta Caixa de entrada"