Com base nessas mensagens de erro, parece que você pode ter pacotes mistos de diferentes repositórios.
Transaction Check Error:
file /usr/lib/mysql/libmysqlclient.so.15.0.0 from install of mysql-5.0.95-5.el5_9.i386 conflicts with file from package mysqlclient15-5.0.67-1.el5.remi.i386
file /usr/lib/mysql/libmysqlclient_r.so.15.0.0 from install of mysql-5.0.95-5.el5_9.i386 conflicts with file from package mysqlclient15-5.0.67-1.el5.remi.i386
Eu estaria inclinado a remover os pacotes não relacionados a Remi, e também ter certeza de que você está apenas instalando pacotes do repositório Remi que estão relacionados ao MySQL daqui para frente.
Eu também precisaria ver mais resultados sobre quais pacotes relacionados ao MySQL, se houver, ainda estão instalados.
$ yum list mysql\*