jq pode ajudá-lo a recuperar dados específicos de arquivos JSON muito rapidamente. Você pode usar grep ou awk em casos específicos, mas jq é um analisador JSON adequado que é mais intuitivo.
Uma vez que você tenha instalado o jq em seu sistema, você pode simplesmente enviar a saída do seu comando curl para ele e pegar o valor do elemento 'engagementID'.
curl -u $user:$PS -h .... | jq -r '.engagementID'
Isso deve retornar o engagementID como uma string não processada.