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Primeiro, você provavelmente deseja que After=network-online.target verifique se a rede está totalmente ativada.
Segundo, você deve systemctl enable ServiceName.timer para que o temporizador seja iniciado na inicialização. Você fez isso? Use systemctl list-timers para verificar quais estão em execução.
Em terceiro lugar, atualize seu arquivo de timer para usar WantedBy=timers.target , que é o destino recomendado.