Ambas as opções que você perguntou são idênticas. Qualquer um funcionará.
/dev/mapper/c1-root e /dev/c1/root são links simbólicos para um mapeador de dispositivos em /dev/ , como /dev/dm-1 , por exemplo.
Não faça executar lvextend -l +100%FREE /dev/sdc . lvextend está esperando um volume lógico, não uma partição.
Além disso, você não deve usar fdisk em volumes lógicos. fdisk destina-se a dispositivos de bloco reais, não aos dispositivos de bloco virtual criados pelo mapeador de dispositivos.