Eu encontrei a solução.
Adicione a opção --delete-first, então:
mirror -c -P5 --log='/var/log/'"$base_name"'.log' "$remote_dir" "$local_dir"
torna-se isto:
mirror -c -P5 --delete-first --log='/home/osmc/'"$base_name"'.log' "$remote_dir" "$local_dir"