Mais de um comentário, em vez de uma resposta (mas não consigo postar comentários ainda :(), mas você examinou alsa e pulseaudio
da sua página wiki ( link )
PulseAudio is a sound server, a background process accepting sound input from one or more sources (processes or capture devices) and redirecting it to one or more sinks (sound cards, remote network PulseAudio servers, or other processes)
Então, em teoria, você pode redirecionar alsa para pulseaudio e usar pulseaudio para redirecionar o áudio para onde você quiser (para o teamspeak). Eu não sei como fazer isso, mas parece possível
EDITAR:
Comece com pavucontrol . Esta é uma boa interface gráfica para pulseaudio que pode ajudá-lo a redirecionar o áudio para outro lugar