Eu tive um problema um pouco diferente, mas com uma solução semelhante eu sinto. Quando eu criei um atalho de prisma que eu acredito ser provavelmente tratado da mesma maneira ou de maneira semelhante.
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O ícone estará aqui
~/.local/share/icons/hicolor/16x16/apps
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O arquivo da área de trabalho estará em
~/desktop
se você abri-lo no gedit, você verá a referência do ícone na parte inferior. -
O fav icon é pequeno 16 * 16 e é um png, então vai parecer um lixo no seu dock do Cairo, então veja se você pode encontrar um substituto do svg.
Uma vez que você o possui, há um guia aqui sobre algumas maneiras diferentes de alterar o ícone no seu dock Como configurar o Cairo-Dock