Como Jeff Schaller menciona, você pode desabilitar o cache de senha do sudo adicionando isso ao seu arquivo /etc/sudoers :
Defaults timestamp_timeout=0
Então você pode simplesmente chown root FILE; chmod 755 FILE para que somente o root possa editar o arquivo, mas todos possam ler / executar.
Como alternativa, você pode fazer su root -c nano FILE , pois su não armazena senhas em cache.