Use =
para comparações de strings, não -eq
.
if [[ ("$varword" = "$varname1" ) || ("$varword" = "$varname2" ) || ("$varword" = "$varname3" ) || ("$varword" = "$varname4" ) ]]
como alternativa, use um regexp:
if [[ $varword =~ ^(even|odd|zero|negative)$ ]] ; then