Tente alterar seu comando cron para
bash -c '/home/user/scripts/backupDB.sh && echo "Backup Successful: $(date)" >> /home/user/tmp/mybackup.log'
Descobri que agrupar as coisas no bash ajudou os valores do ambiente de configuração no passado. Você pode até mesmo ser capaz de despejar partes do seu script como resultado.