sudo permite que você execute comandos em sua própria conta de usuário com privilégios de root. su permite alternar o usuário para que você esteja realmente logado como root.
sudo -s executa um shell com privilégios de root. sudo -i faz isso também, mas também adquire o ambiente do usuário root.
Isso significa que arquivos de recursos específicos de login, como .profile, .bashrc ou .login, serão lidos e executados pelo shell.