Existe uma extensão que você pode usar "MinimizeToTray revived 1.1.2", é popular e altamente elogiado, deve atender às suas necessidades
É possível fazer com que o Thunderbird verifique novos e-mails mesmo quando está fechado . Atualmente, para mim, ele só verifica novos e-mails quando está aberto ou quando é minimizado.
Por exemplo, no Windows, o Mailbird é um cliente de email que verifica novos e-mails mesmo quando está fechado. Mas seu ícone ainda existe na bandeja do sistema.
Existe uma extensão que você pode usar "MinimizeToTray revived 1.1.2", é popular e altamente elogiado, deve atender às suas necessidades