O novo .Net no Linux que você pode ter ouvido falar é chamado de .Net Core . Ele deve ser bem suportado, mas é um subconjunto do .Net Framework, voltado principalmente para aplicativos da web e de nuvem, e não suporta WinForms (ou qualquer outra biblioteca de UI).
Então, se você quer rodar um aplicativo WinForms no Linux, o Mono ainda é sua melhor opção. Usando isso pode funcionar para você ou não. Miguel de Icaza disse em 2014 (e presumo que nada tenha mudado desde então) :
O Mono tem uma implementação do Windows.Forms, mas é antigo não mantido e conhecido por ter alguns bugs.
Algumas pessoas conseguiram usá-lo de forma eficaz, mas atualmente não tem um mantenedor ativo, então encorajamos os desenvolvedores a escolher algo como Gtk # em vez disso.