Não há cliente spotify nos repositórios oficiais.
No entanto, se você estiver usando o 14.04, você pode adicionar o repositório indo
Gerenciador de atualizações - > Configurações
Selecione o separador "Outro Software", clique em adicionar e adicione isto
deb http://repository.spotify.com stable non-free
Agora você precisa adicionar as chaves para abrir um terminal e entrar
sudo apt-key adv --keyserver keyserver.ubuntu.com --recv-keys 94558F59
Digite sua senha quando solicitado.
Agora digite estes comandos:
sudo apt-get update
sudo apt-get install spotify-client
source aqui