Do terminal, usando o comando sudo visudo , edite o arquivo sudoers e adicione a seguinte linha exatamente como está:
www-data ALL=(ALL) NOPASSWD: /home/user2/bin/test.sh
Veja link neste sentido.
Então, no php, use apenas o comando sudo /home/user2/bin/test.sh . Por exemplo:
<?php shell_exec('sudo /home/user2/bin/test.sh'); ?>