Meu dinheiro está em Benoit por ter a resposta correta aqui, mas assim que você puder verificar se seu script foi executado, provavelmente encontrará alguns erros adicionais.
Em resumo, verifique também o seu ambiente! Você está no meio do caminho usando variáveis que definem o local dos comandos ( MYSQL="$(which mysql)" ), mas which mysql apenas lê seu PATH para determinar sua saída. which em um script como este não faz nada, você pode também escrever mysql diretamente quando o comando é usado, ou codificar o local para mysql na variável ao invés de usar which para tentar preencha-o para você.
Em um teste de instalação do Ubuntu x64 12.04.3, * * * * * env > test.out em um crontab mostra que PATH é /usr/bin:/bin . Se um dos seus comandos não existir dentro desse PATH , ele não será executado corretamente!
Como sugestão final, adicione set -x ao topo do seu script bash (supondo que seja bash) para depurar o que o script está realmente fazendo.