Sua tabela de roteamento não parece listar nada para eth0, e não deve haver uma interface chamada eth1 'a menos que seja apenas um erro de digitação, então é difícil fazer uma suposição baseada na sua configuração atual.
Basicamente, isso é tratado por suas rotas. Sua "rota padrão" encaminhará todo o tráfego que não esteja especificamente configurado por uma rota estática. Você deseja configurar sua rota padrão para sair de eth1 e rotas estáticas para eth0. Você pode fazer tudo isso no NetworkManager ou usar os arquivos de configuração simples (ou manualmente, se quiser testá-lo). Sua rota padrão é identificada pela linha com o "Destino" de "0.0.0.0".
No networkmanager, edite a conexão eth0, clique em 'IPv4 Settings', clique no botão 'Routes' e marque a caixa "Use esta conexão apenas para recursos em sua rede". Isso deve ser tudo o que você precisa fazer, depois abaixe e depois faça backup das duas interfaces. Se eth1 estiver configurado para dhcp, deverá definir a rota padrão para aquela conexão e eth0 somente configurará rotas para a rede à qual está conectada.
Espero que isso ajude.