No Chrome, é muito simples: vá para "chrome: // settings / languages" e clique em "Adicionar"
No Firefox, é fácil selecionar e adicionar um único dicionário clicando com o botão direito do mouse em um campo de texto (entrada de texto com várias linhas) selecionando "Verificar ortografia" e, em "Idiomas", clique em "Adicionar dicionários". Infelizmente, não permitirá que você selecione mais de um idioma. Mas você mesmo pode criar um novo dicionário se estiver confortável com a edição de arquivos. Você pode encontrar os dicionários executando isso em seu diretório pessoal:
% find ~/.mozilla/firefox -iname *.dic
Em seguida, você deseja combinar o conteúdo dos arquivos .dic e .aff em um dos dicionários (salvar um backup). A primeira linha do arquivo .dic é uma contagem de todas as palavras (# linhas menos 1), portanto, é necessário atualizar isso no novo arquivo. Note que você não vai querer atualizar o dicionário modificado no futuro (a menos que tenha cometido um erro e precise corrigi-lo) e se o seu dicionário padrão não aparecer nessa lista, basta adicioná-lo como faria com qualquer outro idioma para que você possa obter os arquivos do dicionário.
Para "todo o sistema", isso realmente depende de qual dicionário o aplicativo está usando. Aplicativos maiores, como o Chrome e o Firefox, tendem a manter seus próprios dicionários.