Eu não tenho certeza sobre o material eee, mas você só precisa mudar um pouco o seu comando (escapando as aspas):
logger -p syslog.warn {\"user\":\"admin\", \"password\":\"admin\"}
Enquanto isso, corra o tailf para ver o syslog
$ tailf /var/log/syslog
Jan 12 18:25:48 laptop ubuntu: {"user":"admin", "password":"admin"}