Esta resposta assume que você não alterou as configurações padrão do servidor apache antes.
Primeiro altere o /etc/apache2/apache2.conf
e edite as seguintes linhas:
<Directory /var/www/html/>
Options Indexes FollowSymLinks
AllowOverride None
Require all granted
</Directory>
para
<Directory /var/www/html/mywebsite/>
Options Indexes FollowSymLinks
AllowOverride None
Require all granted
</Directory>
edite /etc/apache2/sites-available/000-default.conf
e altere a seguinte linha
DocumentRoot /var/www/html
para
DocumentRoot /var/www/html/mywebsite
Mais fácil, no entanto, seria simplesmente copiar o conteúdo de /var/www/html/mywebsite
para /var/www/html