Você está configurando incorretamente seus servidores DNS aqui. Somente em casos muito especializados você irá configurar seus servidores DNS para serem seu computador e o gateway padrão.
Se você não sabe quais servidores DNS existem em seu ambiente, basta usar os servidores de nome do Google:
dns-nameservers 8.8.8.8 8.8.4.4
Uma vez feito, reinicialize o RPi - ele deve então aceitar as novas configurações de rede ... ou, caso contrário, teremos que fazer mais trabalho para corrigir.
Também sugiro usar allow-hotplug eth0
em vez de auto eth0
na chance de que você precise inicializar sem uma conexão Ethernet. Isso impedirá que uma inicialização seja interrompida se a rede não conseguir configurar.