Existe uma maneira de fazer isso, embora não seja muito fácil de usar.
Você pode copiar /usr/share/applications/webbrowser-app.desktop
para ~/.local/share/applications
, renomeá-lo e adicionar a URL do seu site da seguinte forma:
Exec=webbrowser-app %u
para
Exec=webbrowser-app %u http://askubuntu.com
Você também pode alterar o Name
e o Icon
do atalho.