Eu não estou tendo uma ideia clara sobre o seu script, mas quem fizer login nesse sistema terá seu log com o nome de usuário em /var/log/auth.log
você pode ver o registro por
sudo cat /var/log/auth.log
Portanto, se você quiser rastrear seu login / início, faça um comando de backup e execute-o antes de efetuar o logout / shutdown do seu sistema.
Execute um script após o logout / reboot / shutdown no Ubuntu