Eu posso dizer com certeza que o Gigabyte GA-H61 funcionará imediatamente. Não há problemas aí. Para a CPU e RAM eles funcionarão corretamente, especialmente se você estiver usando o 13.04 já que é o mais recente (eles teriam trabalhado com versões mais antigas do Ubuntu até 12.04 se não me engano).
Então, você terá total compatibilidade com tudo isso.
Para referência, aqui estão outras perguntas:
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O 32- bit PAE com mais de 4GB de RAM melhora a velocidade?
Compatibilidade de hardware no Ubuntu 12.04 LTS
Qual é a diferença entre o Wubi e um regular "ao lado do Windows "instalação?