Não tenho certeza se você pode iniciá-lo com a janela do gerenciador de tarefas aberta. Mas, se for possível, deve ser com a opção "--webui-task-manager".
Abra este arquivo para edição:
gedit ~/.local/share/applications/google-chrome.desktop
Encontre o texto abaixo:
X-Ayatana-Desktop-Shortcuts=[your quicklist option groups]
Altere para:
X-Ayatana-Desktop-Shortcuts=[your quicklist option groups];TaskManager
Em seguida, adicione na parte inferior:
[TaskManager Shortcut Group]
Name=Task Manager
Exec=google-chrome --webui-task-manager
TargetEnvironment=Unity
Salve e feche.