O Thunderbird precisa estar aberto se você quiser receber notificações.
Mas você pode usar addons para "escondê-lo" na bandeja.
Existe um addon chamado Minimize to Tray
no Thunderbird para conseguir isso.
Uma vez instalado, pressione F9 para minimizar o Thunderbird na bandeja do sistema.
Você continuará recebendo as notificações quando estiver minimizado.