Eu encontrei a solução para minha pergunta na internet. Aparentemente, para que o Conky (ou qualquer outra coisa) funcione com os drivers da Broadcom, é necessário executar o aplicativo como o superusuário. Então, para corrigir o problema, você:
sudo conky -d
em vez de
conky -d
Além disso, o problema eth1
/ wlan0
é específico para os drivers da Broadcom (e deve acontecer com eles)