Esta resposta resume as sugestões dadas nos comentários de @Ocaso e @Rinzwind.
Eu usei isso:
wget -r -nH -np --cut-dirs=1 --no-check-certificate -U Mozilla --user={uname}
--password={pwd} https://my-host/my-webdav-dir/my-dir-in-webdav
Não é perfeito (baixei um monte de 'index.html? C = M; O = D' e similares), mas de outra forma funcionou ok.
O "-r" é baixado recursivamente, seguindo os links.
O "-np" impede a ascensão aos diretórios pai (senão você faz o download de todo o site!).
O "-nH" impede a criação de um diretório chamado "my-host" (que eu não queria).
O "--cut-dirs = 1" previne a criação de um diretório chamado "my-webdav-dir".
O "--no-check-certificate" é porque estou usando um certificado autoassinado no servidor webdav (também estou forçando https).
O "-U Mozilla" configura o agente do usuário na solicitação http para "Mozilla" - meu servidor webdav não precisava disso, mas incluí-lo de qualquer maneira.