Não é uma falha de privacidade (significativa). O navegador envia uma string User-Agent com cada solicitação de qualquer maneira. Por exemplo, o Firefox rodando no Ubuntu envia a seguinte string com cada requisição:
% bl0ck_qu0te%Todos os web sites que você visita usando o Firefox no Ubuntu sabe que você está rodando o Ubuntu (ou um derivado como o Linux Mint).