php5-sqlite apenas instala o plug-in do SQlite para php5 . sqlite e sqlite3 são programas separados e não são php5 plugins.
Execute sudo apt-get install sqlite sqlite3 para instalar ambos os utilitários do cliente SQlite da linha de comandos. Os php5 plugins não precisam dos binários, então eles não são instalados pelo comando apt-get que você diz que executou.