Sim, você pode fazer isso com o cron. Para adicionar uma tarefa ao cron, você precisa executar
crontab -e
A sintaxe deve ser especificada em um comentário na última linha, mas explicarei de qualquer maneira:
m h dom mon dow comando Em ordem: estes são o minuto, a hora, a data do mês, o mês, o dia da semana e o comando a ser executado neste momento.
Então, para executá-lo a cada hora, você deseja:
0 * * * * /home/username/bin/git-backup-script.sh
O que significa executar o script no 0º minuto de cada hora de cada dia, etc.
Onde /home/username/bin/git-backup-script.sh é um script de shell que faz tudo o que você mencionou (embora não esqueça de acessar o diretório relevante nele)