Para o primeiro problema, você deve simplesmente abrir o dconf-editor (talvez você deva instalá-lo primeiro), então vá para org > gnome > shell e anule a cadeia dos provedores de pesquisa abertos-desativados.
Caso contrário, você pode simplesmente fazer em um terminal
gsettings set org.gnome.shell disabled-open-search-providers "[]"
Para o segundo problema, já existe uma resposta (siga os links no final da resposta a essa pergunta): É possível personalizar os botões do mecanismo de pesquisa no GNOME Shell?