Você pode usar um servidor Icecast e apontar para o fluxo do seu website usando um elemento "HTML5" <audio> .
Como os aplicativos do Wine são canalizados através das camadas do sistema de som do Linux, você deve conseguir captar o som com um cliente de origem como o IceS2. Certifique-se de selecionar a entrada de gravação correta usando o software mixer / controle, senão você apenas transmitirá silêncio.