Por meio do bate-papo, descobrimos que todas as configurações de site, exceto uma, tinham ssl_protocols TLSv1; em suas configurações. Apenas um tinha ssl_protocols TLSv1 TLSv1.1 TLSv1.2; na configuração do site. Removemos todos eles e tivemos /etc/nginx/nginx.conf definido com ssl_protocols TLSv1 TLSv1.1 TLSv1.2; , o que parece ter resolvido seus problemas.