Você pode instalar o Ubuntu dentro de sua partição C :, mas este é o mecanismo específico do Ubuntu (Wubi) e não é um cenário normal de instalação do sistema operacional, então eu não o recomendaria.
No entanto, é muito fácil reduzir sua partição C: e criar partições para o Ubuntu durante a instalação do Ubuntu. Inicialize seu PC com o disco de instalação do Ubuntu e, quando perguntado pelo instalador sobre partições, escolha "Instalar o Ubuntu ao lado do Windows" ou algo parecido. Então você escolhe o quanto o Windows C: partition deve ser reduzido e, em seguida, criar partições do Ubuntu no espaço livre obtido é feito automaticamente.