O Apple Music usa o iTunes, você pode tentar usar vinho / crossover para executá-lo no Ubuntu. O problema é que o iTunes tem sido muito difícil de rodar no Ubuntu. Você pode verificar o status do iTunes em execução no Wine aqui . Você pode ver que a versão 12.x (a mais recente) pode ser instalada, mas nada relacionado a redes funciona. Então, se você já tem música no seu computador, ela será reproduzida, mas não transmitirá nada.
Eu não recomendo mudar do Spotify para o Apple Music se você estiver usando o Ubuntu. Atenha-se ao Spotify ou experimente o Google Play Music, em que ambos têm uma interface da Web funcional e o Spotify tem um aplicativo dedicado para Linux. Se a Apple oferecer uma solução baseada em navegador para o iTunes, talvez seja possível, mas eu realmente duvido. O objetivo da Apple é colocá-lo em seu ecossistema e fechar todas as portas de saída para que você dependa delas 100%.