O mysqld deve ser executado como o usuário mysql. Você não deve executar o daemon manualmente. É melhor começar como um serviço como este:
sudo service mysql start
A mensagem de erro indica que o serviço mysql não pode acessar certos arquivos que não devem ser acessados no ambiente do usuário. Portanto, esse comportamento deve estar correto. No entanto, você deve verificar se os diretórios existem e quem os possui e quem tem acesso a eles (use ls -la para esse propósito):
ls -la /var/lib/
ls -la /var/lib/mysql